La mejor forma de hacer una migración es de la siguiente forma:
Crear los dominios en cPanel o Plesk
Crear las cuentas de correo con los mismos nombres de usuario y si es posible contraseñas.
Subir el contenido de las páginas webs a nuestro servidor.
Importar las bases de datos y conectarlas.
Crear cuentas de FTP exactamente como las tenía en el servidor antiguo.
Una vez que haya podido comprobar que la web funciona correctamente desde nuestro servidor, puede proceder a cambiar las DNS del dominio para que comienzen a funcionar con nuestro servidor.
De esta forma la web no tendrá ningún tiempo de baja. Mientras se propagan los cambios de DNS (pueden tardar hasta 24 horas) puede que algún que otro email se diriga al servidor antiguo. Esto solo se puede evitar haciendo que desde el servidor antiguo la zona DNS para el servidor de emails apunten a nuestro servidor.
Todos los usuarios que utlicen programas de correo tendrán que cambiar la configuración de sus cuenta a mail.TUDOMINIO.com y asegurarse que marcan la opción Mi servidor requiere autenticación.
Nota: Esto son solo sugerencias; si tu proveedor antiguo usa cPanel puedes generar backups completos de tu web.